SOAL MATEMATIKA KELAS 3 SMA

  1. Diketahui premis-premis sebagai berikut:
    premis I     : Jika hari ini hujan, maka saya tidak pergi.
    premis II    : Jika saya tidak pergi maka saya nonton sepak bola.
    Tentukanlah kesimpulan yang sah dari penarikan kedua premis tersebut !

    Pembahasan:
    Misalkan,
    p : hari ini hujan
    q: saya tidak pergi
    r: saya nonton sepak bola
    maka:
    Premis I : p → q
    Premis II : q →r
    Kesimpulannya adalah p → r
    Jadi jika hari ini hujan maka saya nonton sepak bola.

  2. Carilah negasi dari pernyataan “Jika ada ujian sekolah, maka semua siswa belajar dengan rajin.”

Pembahasan:
Misalkan,
p: ada ujian sekolah
q: semua siswa belajar rajin
maka pernyataan “Jika ada ujian sekolah maka semua siswa belajar dengan rajin” dapat ditulis sebagai p→q
mengingat p→qÛ~p˅q
maka diperoleh: ~(~p˅q)Ûp˄~q
Jadi negasi dari pernyataan “Jika ada ujian sekolah maka semua siswa belajar dengan rajin” adalah “Ada ujian sekolah dan beberapa siswa tidak belajar dengan rajin”

Persamaan kuadrat 2x² – 2(p – 4)x + p = 0 mempunyai dua akar real yang berbeda.

  1. Carilah batas-batas nilai p !

    Pembahasan:

Karena persamaan kuadrat mempunyai dua akar real berbeda maka Diskriminan (D) harus memenuhi D˃0 Dari sini diperoleh ( – 2(P – 4))² – 4.2.p ˃ 0. Kemudian diselesaikan untuk variabel p sebagai berikut:
( – 2)p – 4))² – 4.2.p ˃ 0
↔ 4(p² – 8p + 16) – 8p ˃ 0
↔ p² – 10p + 16 ˃ 0
↔ (p – 2) (p – 8) ˃ 0
Didapatkan penyelesaian p ˂ 2 atau p ˃ 8


 

  1. Suku banyak berderajat 3, jika dibagi (x² + x – 2) bersisa (2x – 1), jika dibagi (x² + x – 3) bersisa (3x – 3).
    Carilah suku banyaknya !

    Pembahasan:
    misalkan suku banyak tersebut P(x)
    berarti dipenuhi:
    P(x) = G (x) ( x² + x – 2) + (2x – 1)
    = G (x) (x – 1) (x + 2) (2x – 1) …………….. (1)
    dan
    P(x) = H (x) (x² + x – 3) + (3x – 3) ………………(2)
    dengan G(x) dan H(x) masing-masing merupakan suku banyak (polinomial) berderajat satu.
    dari (1) diperoleh:
    P( – 2) = -5 ……………………………………….(3)
    dan
    P(1) = 1……………………………………………(4)
    misalkan H(x) = ax + b …………………………..(5)
    maka sesuai (1), (2), (3), (4), dan (5) diperoleh:
    -5 = P(-2) = (a(-2) + b) ((-2)² + (-2) -3)) + 3(-2) -3
    = 2a – b – 9
    dan
    1 = P(1) = (a (1) + b) ((1)² + (1) -3) + 3(1) -3
    = – a  – b
    selanjutnya ditulis sebagai sistem persamaan:
    2a – b = 4; a + b = -1 ……………………………..(6)
    solusi dari sistem persamaan (6) adalah a = 1 dan b = -2
    mengingat (2) dan (5) maka diperoleh suku banyak P(x) = x³ – x² -2x + 3


 

  1. Diketahui fungsi f(x) = 2x – 3 dan g(x) = x² + 2x – 3.
    Carilah komposisi fungsi (gof)(x) !

    Pembahasan:
    (gof)(x) = g(f(x))
    = g(2x -3)
    = (2x-3)² + 2(2x-3)-3
    = 4x²-8x

  1. Grafik fungsi f(x) = x³ + 6x² – 15x + 3 naik pada interval…

    Pembahasan:
    f(x) = x³ + 6x² – 15x + 3 → f’(x) = 3x² + 12x – 15
    untuk menentukan dimana f’(x) > 0, misalkan:
    f’(x) = 0 → 3x² + 12x – 15 = 0
    (3x + 15) (x – 1) = 0
    (3x + 15) = 0 => x = -5
    (x -1) = 0 => x = 1
    dengan garis bilangan riil
    (+)          (-)                (+)

    -5                   1               uji terhadap f’(x)
    jadi dapat disimpulkan bahwa grafik fungsi f(x) naik pada interval x = < -5 dan x > 1.


  1. Barisan geometri dengan U7 = 384 dan rasio = 2.Tentukanlah suku ke-10 dari  barisan tersebut !.

    Pembahasan :
    Rasio, r = 2
    U7 = 6 ar = 384

Suku ke-10, U10 = ar9 = ar6 × r3 = 384×23 = 384×8 = 3072.
 

  1. Tiga buah bilangan membentuk barisan aritmetika dengan beda tiga. Jika suku kedua dikurangi 1, maka terbentuklah barisan geometri dengan jumlah 14.Tentukan rasio barisan !.

    Pembahasan:
    Misalkan a – 3,a dan a + 3
    (a – 3) + (a – 1) + (a + 3) = 14
    3a – 1 = 14
    a = 5
    Bilangan-bilangan tersebut adalah 2, 5, dan 8.

Barisan geometri yang terbentuk 2, 4,8 merupakan barisan geometri dengan rasio 2.
 

  1. Persamaan bayangan lingkaran x² + y² = 4 bila dicerminkan terhadap garis x = 2 dilanjutkan dengan transalasi adalah…

    Pembahasan :
    Karena transformasi yang dilakukan tidak memuat dilatasi (perbesaran/pengecilan) maka yang perlu diperhatikan hanya titik pusat saja, sedangkan jari-jari tetap 2.
    Lingkaran x² + y² = 4  berpusat di (0,0). Oleh pencerminan terhadap garis x = 2 pusat berpindah ke titik (4,0). Selanjutnya, oleh translasi   titik pusat bergeser ke titik (1,4) .
    Jadi persamaan lingkaran yang baru adalah:
    (x – 1)² + (y – 4)² = 4
    x² – 2x + 1 + y² – 8y + 16 = 4
    x² + y² – 2x – 8y + 13 = 0

  2. Tentukanlah himpunan penyelesaian dari persamaan cos 4x + 3 sin 2x = −1 untuk 0° £ x £180° !

    Pembahasan:
    cos (4x) + 3sin (2x) = -1
    1 – 2sin² 2x + 3sin(2x) = -1
    Û 2 sin² (2x) – 3 sin (2x) – 2 = 0
    misal y = sin (2x)
    Û2y² – 3y – 2 = 0
    Û( y – 2) (2y + 1) = 0
    Û y = 2 ˅ y = – ½
    karena y = sin (2x) tidak mungkin bernilai 2, maka akan ditentukan nilai x yang memenuhi y = sin (2x) = -½
    sin (2x) = -½
    2x  =  210º Û x = 105º
    atau 2x =  330º Û x = 165º
    jadi himpunan penyelesaian untuk persamaan tersebut adalah { 110º,165º}.


 

  1. Garis singgung kurva y = (x²+2)² yang melalui titik(1,9) memotong sumbu Y di titik….

    Pembahasan :
    Jelas bahwa kurva melalui (1,9) karena titik ini memenuhi persamaan kurva. Kemudian dicari persamaan garis singgung kurva yang melalui titik ini sebagai berikut:
    Gradien garis singgung kurva m(x) di peroleh dari m(x) = y’ = 4x(x2+2). Berarti m(1) = 12 sehingga persamaan garis singgung yang melalui titik (1,9) adalah y – 9 = 12 (x – 1). Pada persamaan garis ini, untuk nilai x = 0 (memotong sumbu Y) akan diperoleh y = -3.
    Jadi garis singgung ini akan melalui titik (0,–3).

 

  1. Suatu perusahaan memproduksi x unit barang dengan biaya (5x2 −10x + 30) dalam ribuan rupiah untuk tiap unit. Jika barang tersebut terjual habis dengan harga Rp50.000,00 tiap unit, maka tentukanlah keuntungan maksimum yang diperoleh perusahaan tersebut !.

    Pembahasan:
    Total penjualan = 50000x
    Total biaya produksi = ( 5x² −10x + 30) x dalam ribuan rupiah
    Keuntungan = total penjualan – total biaya produksi

= 50000x – (5000x³ −10000x² + 30000x)
Apabila F(x) merupakan fungsi yang menyatakan keuntungan, maka:
F
(x) = −5000+10000+ 20000x

      F(x) mencapai maksimal untuk F ‘(x) = 0
Û−15000+ 20000x + 20000 = 0

Û−3+ 4x + 4 = 0

Û(−3x − 2)( x − 2) = 0

Û x = ⅔ atau x = 2
Karena x menyatakan unit barang, maka x tidak mungkin berupa pecahan. Sehingga

keuntungan maksimal diperoleh untuk x = 2.

F(x) = −5000+10000+ 20000x = −5000.2³ +10000.2² + 20000.2 = 40000

Jadi keuntungan maksimal perusahaan tersebut adalah Rp40.000,00.


  1. Seorang pedagang sepeda ingin membeli 25 sepeda untuk persediaan.Ia ingin membeli
    sepeda gunung dengan harga Rp 1.500.000,00 per buah dan sepeda balap dengan harga      Rp 2.000.000,00 per buah. Ia merencanakan tidak akan mengeluarkan uang lebih dari Rp    42.000.000,00. Jika keuntungan sebuah sepeda gunung Rp. 500.000,00 dan sebuah sepeda    balap Rp 600.000,00.
    Tentukanlah keuntungan maksimum yang diterima pedagang tersebut !.

    Pembahasan:
    misalkan,
    x = banyaknya sepeda gunung.
    y = banyaknya sepeda balap.
    dari permasalahan diatas dapat disusun model matematika sebagai berikut:
    x + y = 25; = 25; 1500000x + 2000000y ≤ 42000000; x ≥ 0; x ≥ 0; y ≥ 0 yang ekuivalen dengan x + y = 25; 3x + 4y ≤ 84; x ≥ 0; y ≥ 0
    fungsi sasarannya adalah f(x,y) = 500000x + 600000y
    karena mengharuskan x + y = 25 maka daerah penyelesaiannya adalah AB (ruas garis AB).Seperti pada gambar berikut:

    selanjutnya dengan membandingkan hasil dititik A dan B maka diperoleh nilai maksimum f(x,y) berada dititik A yaitu:
    f (16,9) = 500000 (16) + 600000 (9)
    =13400000.


  1.  Luas daerah parkir 1.760 m2. Luas rata-rata untuk mobil kecil 4 m2 dan mobil besar 20 m2. Daya tampung maksimum hanya 200 kendaraan, biaya parkir mobil kecil Rp1.000,00/jam dan mobil besar Rp2.000,00/jam. Jika dalam satu jam terisi penuh dan tidak ada kendaraan yang pergi dan datang,tentukanlah penghasilan maksimum tempat parkir !

Pembahasan:
Misalkan mobil kecil dinotasikan sebagai x dan mobil besar dinotasikan sebagai y . Permasalahan di atas dapat dimodelkan sebagai permasalahan mencari hasil maksimum dari fungsi f(x,y) = 1000x + 2000y dengan batasan (konstrain):
x + y ≤ 200 …………….. (i)
dan
4x + 20y ≤ 1760 ……..(ii)
sketsa dari model optimalisasi ini adalah sebagai berikut:
y

x + y = 200
x
garis x + y = 200 dengan garis 4x + 20y =1760 berpotongan di titik B
subtitusi x dari persamaan x + y = 200 ke persamaan 4x + 20y = 1760  di peroleh:
4(200 – y) + 20y = 1760
800 – 4y + 20y = 1760
y = 60
y = 60 Û x = 140
titik B (140,60)
Jadi ada tiga titik yang perlu ditinjau sebagi titik yang menjadikan f(x,y) = 1000x + 2000y maksimum yaitu A (0,88), f(0,88) = 1000 (0) + 2000 (88 )= 176000
dititik B (140,60), f(140,60) = 1000 (140) + 2000 (60) = 260000
dititik C (200,0), f(200,0) = 1000 (200) + 2000 (0) = 200000
jadi f(x,y) = 1000x + 2000y optimum terjadi di B (140,60), f(140,60) = 260000
maknanya penghasilan maksimum tempat parkir tersebut dicapai jika memarkir 140 kendaraan kecil dan 60 kendaraan besar dengan pendapatan Rp 260.000,00.


Posted on May 13, 2013, in Matematika. Bookmark the permalink. Leave a comment.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s

%d bloggers like this: